本記事では、線形代数を理解するのに最低限必要となる集合と写像に関する概念を解説します。
写像 / 変換
写像とは
\(X,\, Y \)を空でない集合とする。このとき、
- \( X\)の任意の元に対して、
- その元に対応する\( Y\)のある元がただ1つ与えられている
とする。このことを
\[f:X \rightarrow Y\]
と表し、\( f\)を\( X\)から\( Y\)への写像、\( X\)を\( f\) の定義域、\( Y\)を\( f\) の終域という。
像
\( X,\, Y\)を空でない集合とし、写像\( f:X \to Y\) が与えられているとする。
このとき、\( f(X)\) を、\( f\)の終域\( Y\)の部分集合\( f(X) \subset Y\)として、
\[f(X) = \{f(x) \in Y |\; x \in X \}\]
により定め、これを\( f\)による\(X \)の像(または値域)という。なお、\(f(X) \)は、\( \mathrm{Im} f\)と表すこともある。
定義域\( X\)の各元\( x \in X\)を\( f\)によって写像すれば、\( f(x) \in Y\) となるが、\( f\)による\( X\)の像\( f(X)\) とは、\( f(x)\) を全て集めた\( Y\)の部分集合のこと。
ここで、\( f(X)\) は、\( Y\)と一致することもあれば、しないこともある点に注意する。これが全射という概念に繋がっていく。
逆像
\( X,\, Y\) を空でない集合とし、写像\( f:X \to Y\) が与えられているとする。
また、集合\( B\) を終域\( Y\)の部分集合\( B \subset Y\) とする。このとき、\( f^{-1}(B)\)を、\( f\)の定義域\( X\) の部分集合\( f^{-1}(B) \subset X\) として、
\[f^{-1}(B) = \{x \in X |\;f(x) \in B \}\]
により定め、これを\( f\)による\( B\)の逆像という。
\( f\)で写像すると集合\( B \subset Y\)に行き着く元\( x \in X\) だけに絞って集めた\( X\)の部分集合のこと
写像のパターン
全射
\( X,\, Y\) を空でない集合とし、写像\( f:X \to Y\) が与えられているとする。
このとき、任意の\( y \in Y\) に対して、ある\( x \in X\) が存在して、\( y = f(x)\) を満たすとき、すなわち、\( f(X) = Y\) （\( f\)による\( X\)の像\( f(X)\)が終域\( Y\)と一致する）であるとき、写像\( f\) を全射という。
噛み砕いて言えば、\( f\) の\( X\)による像\( f(X)\) が終域\( Y\)全体を漏れなくカバーできているケース。
単射
\( X\)の任意の2つの元\( x_1,x_2\) に対して、\( x_1 \neq x_2\) ならば、必ず\( f(x_1) \neq f(x_2)\) を満たすとき、写像\( f\)を単射という。
また、上記の対偶を取れば、
\[f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2\]
であり、元の命題と対偶の真偽は一致するので、これも単射の定義となる。
全単射 / 逆写像
写像\( f:X \rightarrow Y\) が全射かつ単射であるとき、\( f\) は全単射であるという。
このとき、\( m\) は全射であるから、終域\( Y\)のどんな元\( y\)を選んでも、\( f\)によって、その\( y\)に移る\( x \in X\) が存在する。また、\( f\) は単射でもあるから、このような\( x\)はただ一つ定まる。
ここから、\( f^{-1}:Y \to X\) を定めることができる。\( f^{-1}\) を\( f\)の逆写像といい、任意の\( y \in Y\) について、\( y = f(x)\) を満たす\( x\in X\) を対応させる写像である。
合成写像
\(X,Y,Z\)を空でない集合、写像\(f:X\rightarrow Y\)、写像\(g:Y\rightarrow Z\)が与えられているとする。
このとき、\(f\)と\(g\)の合成写像\(f\circ g\)とは、\(x \in X\)に対して、\(g(f(x)) \in Z\)を対応させる写像、すなわち、\(f \circ g: X \rightarrow Z\)である。
合成写像\(f \circ g\)においては、\(f\)の値域\(f(X)\)と\(g\)の定義域\(Y\)は同じ集合である必要がある。
線形写像と行列
以下「行列を線形写像として捉えて、その性質を分析する」では、本記事の内容を踏まえて、線形写像と行列の関係を詳細に解説しています。
参考図書
本記事を執筆するにあたり参考にした書籍を紹介します。
計量経済学のための数学
手を動かして学ぶ集合と位相
