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数学

【まとめ】重要度の高い行列のランクの性質(定理)

本記事では、重要度の高い行列のランクの性質(定理)を解説していきます。

本記事の前提知識や線形写像とランクを関連は「行列を線形写像として捉えて、その性質を分析する」で解説しているので、参考にしてください。

行列を線形写像として捉えて、その性質を分析する本記事では、行列を線形写像の観点から解説します。 具体的には、行列を、その行列を構成する列ベクトルが生成するスパンと解釈する見方を土台にして、像と全射、核と単射の関連を説明します。...

p \times n 行列 A に対し、 \mathrm{rank}\, A \leq min(p, n)

Aの像の次元\dim \mathrm{Im}\, Aは、Aの定義域の空間R^nの次元\dim R^n = nAの値域の空間R^pの次元\dim R^p = pのうち、小さい方以下となる。

【証明】
p \times n行列Aは、定義域R^nから終域R^pへの線形写像の表現行列である。

最初にp \leq nのケースを考える。

これは、終域R^pの次元が定義域R^nのそれ以下であることを意味する。つまり、

\dim R^p = p \leq \dim R^n = n

ここで、\mathrm{Im}\, Aは、Aの終域R^pの部分空間なので、2つの空間の次元の大小関係に関して

\dim \mathrm{Im}\, A \leq \dim R^p

以上より、
\begin{align*} &\dim \mathrm{Im}\, A \leq \dim R^p \leq \dim R^n \\ &\dim \mathrm{Im}\, A \leq p \leq n \end{align*}

また、行列のランクは、その行列の像の次元と定義されるから

\mathrm{rank} A = \dim \mathrm{Im}\, A

以上より、

\mathrm{rank} A \leq p \leq n

これで、Aのランクは、p \leq nならば、p以下になることが確かめられた。

次に、n < pのケースを考える。

まず、行列Aのn個の列ベクトルを\mathbf{a_1}, \mathbf{a_2}, \cdots, \mathbf{a_n}とおけば、

\mathrm{Im}\, A = \mathrm{Span}[\mathbf{a_1}, \mathbf{a_2}, \cdots, \mathbf{a_n}]

つまり、Aの像\mathrm{Im}\, Aとは、Aのn個の列ベクトル\mathbf{a_1}, \mathbf{a_2}, \cdots, \mathbf{a_n}のスパンである。

ここで当然ながら、スパンを構成するn個のベクトルのうち、線形独立であるものはn個以下である。一方、スパンの次元は、スパンを構成する線形独立なベクトルの最大個数であるので、

\dim \mathrm{Span}[\mathbf{a_1}, \mathbf{a_2}, \cdots, \mathbf{a_n}] \leq n

となり、仮定n < pと合わせて

\mathrm{rank} A = \dim \mathrm{Im}\, A =\dim \mathrm{Span}[\mathbf{a_1}, \mathbf{a_2}, \cdots, \mathbf{a_n}] \leq n < p

すなわち、

\mathrm{rank} A \leq n < p

これで、Aのランクは、n < pならば、n以下になることが確かめられた。

\mathrm{rank} A = \mathrm{rank} A^\perp

【証明】

ランクの定義より、

\mathrm{rank} A = \dim \mathrm{Im}\, A,\:\: \mathrm{rank} A^\top = \dim \mathrm{Im}\, (A^\top)

また、次元定理より、

\begin{align*} \dim \mathrm{Im}\, A &= \dim \mathbb{R}^n – \dim \mathrm{Ker}\, A \\ &= \dim \mathbb{R}^n – \dim \mathrm{Im}\, (A^\top)^\perp \\ &= \dim \mathrm{Im}\, (A^\top) \end{align*}

1行目から2行目の変形は、\dim \mathrm{Ker}\, A = \dim \mathrm{Im}\, (A^\top)^\perpより成り立つ。2行目から3行目の変形は、\mathrm{Im}\, (A^\top)^\perp\mathbb{R}^nの部分空間であり、また、\mathrm{Im}\, (A^\top)の直交補空間であることから成り立つ。

以上より、\dim \mathrm{Im}\, A = \dim \mathrm{Im}\, A^\topであり、すなわち、\mathrm{rank} A = \mathrm{rank} A^\top

\mathrm{rank}\, (A^\top A) = \mathrm{rank}\, A

p \times n 行列Aに対して、A^\top Aは、n次対称行列であり、R^n \to R^nの線形変換の表現行列である。よって次元定理から、以下の関係式が導かれる。

\mathrm{rank}\, A^\top A = \dim R^n – \dim \mathrm{Ker}\, A^\top A

一方、 p \times n行列AR^n \to R^pの線形写像の表現行列であり、次元定理を適用すれば、以下の関係式が導かれる。

\mathrm{rank}\, A = \dim R^n – \dim \mathrm{Ker}\, A

以上より、\mathrm{rank}(A^\top A) = \mathrm{rank}\, Aを示すことと\dim \mathrm{Ker}\, A^\top A = \dim \mathrm{Ker}\, Aを示すことは同値なので、\dim \mathrm{Ker}\, A^\top A = \dim \mathrm{Ker}\, Aを示せればよいことになる。\\

さらに、\dim \mathrm{Ker}\, A^\top A = \dim \mathrm{Ker}\, A \Leftrightarrow \mathrm{Ker}\, A^\top A = \mathrm{Ker}\, Aなので、結局のところ、\mathrm{Ker}\, A^\top A = \mathrm{Ker}\,  Aを示せばよいことになる。

【証明】

まずは、\mathrm{Ker} A^\top A \subset \mathrm{Ker} Aを示す。

任意の\mathbf{x_0} \in \mathrm{Ker} A^\top Aを選ぶと、A^\top A\mathbf{x_0} = \mathbf{0}が成り立つ。ここで、A^\top A\mathbf{x_0}\mathbf{x_0}の内積をとると、以下の関係式を得る。

<\mathrm{Im} A^\top A\mathbf{x_0}, \mathbf{x_0}> = 0

なぜなら、A^\top A\mathbf{x_0} = \mathbf{0}より、\mathbf{x_0}がどのようなベクトルであったとしても、ゼロベクトル\mathbf{0}との内積は必ず0になるから。

この関係式を変形する。

\begin{align*} <A^\top A\mathbf{x_0}, \mathbf{x_0}> = 0 \\ \Leftrightarrow (A^\top A\mathbf{x_0})^\top \mathbf{x_0} = 0\\ \Leftrightarrow \mathbf{x_{0}}^\top  A^\top A \mathbf{x_0} = 0\\ \Leftrightarrow (A\mathbf{x_0})^\top A \mathbf{x_0} = 0 \\ \Leftrightarrow < A\mathbf{x_0}, A\mathbf{x_0}> = 0 \\ \Leftrightarrow ||A\mathbf{x_0}||^2 = 0 \\ \Leftrightarrow A\mathbf{x_0} = \mathbf{0} \end{align*}

ここから\mathbf{x_0} \in \mathrm{Ker} Aを得る。以上より、\mathrm{Ker} A^\top A \subset \mathrm{Ker} A

 

次に、\mathrm{Ker} A^\top A \supset \mathrm{Ker} Aを示す。

任意の\mathbf{x_0} \in \mathrm{Ker} Aを取ると、A\mathbf{x_0} = \mathbf{0}である。この両辺に左からA^\topをかければ、A^\top A\mathbf{x_0} = A^\top\mathbf{0}を得る。すなわち、

A^\top A\mathbf{x_0} = \mathbf{0}

この関係式は\mathbf{x_0} \in \mathrm{Ker} A^\top Aを意味する。以上より、\mathrm{Ker} A^\top A \supset \mathrm{Ker} A

よって、\mathrm{Ker} A^\top A = \mathrm{Ker} A。ここから、\mathrm{rank} A^\top A = \mathrm{rank} A

参考文献・教材

 

計量経済学のための数学

 

統計学のための数学入門30講

 

線形代数の理論とPythonによる実践