【線形代数】直行補空間を解説｜ベクトルと部分空間の直交

【定義】
$R^n$の部分空間$V$と$\mathbf{a} \in R^n$が直交するとは、任意の$\mathbf{b} \in V$に対して、$\langle  \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle =0$が成り立つことをいう。$\mathbf{a}$が$V$に直交するとき、$\mathbf{a} \perp V$と表す。

$V$を$R^n$の部分空間とし、$\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \cdots, \mathbf{u}_n$を$V$の基底とする。このとき、$\mathbf{a} \in R^n$に対し、
$$\mathbf{a} \perp V \Leftrightarrow \langle  \mathbf{a}, \mathbf{u}_1 \rangle  = \cdots = \langle \mathbf{a}, \mathbf{u}_n \rangle  = 0$$

【定義】
$R^n$の部分空間$V$に直交するすべてのベクトルからなる集合を、$V$の直交補空間$V^\perp$といい、

$$\begin{align*} V^\perp &= \{\mathbf{a} \in R^n | \mathbf{a} \perp V \} \\ &= \{\mathbf{a} \in R^n | \; \mathrm{任意の} \mathbf{b} \in V \mathrm{に対し}, \: \langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle  = 0 \} \end{align*}$$

で定義する。